数学分析基础
数学分析基础
每天吃透一个重要的定理：
[2020-08-26]
Cover
就是一群 set \(U_i\) 的 Union 包括了某个set \(A\)。
\[A \subseteq \cup_{i \in I}^{} U_i \\\]A family of \(\{ U_i : i \in I \}\) 就是 cover of set \(A\)
Subcover
两个 \(A\) 的 cover \(\{ U_i : i \in I \} \,\,, \{ U_j : j \in J \}\)
如果这两个cover 的, \(J \subseteq I\) 那 \(\{ U_j : j\in J \}\) 就是另一个的subcover
Compact
If a subset \(A_{}^{}\) of a topological space \(X_{}^{}\) is compact if every open cover for \(A_{}^{}\) has a finite subcover.
Note: Finite subcover 不是说这个 cover 是finite 的, 是有限个open set 的cover
这个确实是个很扯的定义, 我现在还不确定为什么 compact 的性质这么重要, 但它出现的频率确实非常非常高。
第一个提出 compactness 的人到底是怎么想出来的呢？
The Heine-Borel Theorem
In \(R^k\) \(\text{ closed and bounded } \Leftrightarrow \text{ compact }\)
In general \(\text{ closed and bounded } \Leftarrow \text{ compact }\)
例子： (0,1) 不 compact：
证明不compact只要找到反例就可以了, 证明compact会麻烦一点。
我们可以构造一个 open cover \(\{ ( {\frac{1}{n}} , 1) \vert n \in \mathbb{N} \}\)
1- 这是一个open cover： 每一个点\(x \in (0,1)\) 我们都能找到至少一个 open set 包含 \(x\)。
2- 这个open cover没有有限个subcover, 任何一个 subcover 都是无限的。
例子： bounded and closed 但不是compact的例子
一般就是设一个 not compact 的集, 因为全集是 即close 又 open, 所以他是closed and bounded 但是不是compact的set。
点我展开证明思路
“the creeping method” 核心的思想是定义一个finite subcover:
比如 \(u\) 是一个(open) cover of \([a,b]\)
然后我们定义： \(G = \{ x \in R : x \ge a \vert \text{ is covered by a finite subfamily of } u \}\)
要说明这个集是存在的, 只需要想第一个点, \(a \in G\) 因为 \([a,a]\) 是一个single set of u, 我们一定是可以定义一个有限的subcover包含它。 然后因为它是open cover, 那那个有限的 subcover \(u_a\) 一定包含 \([a, a + \delta)\)
然后 我们尽力去说明 这个 set \(G\) 是包括 b 的: \(sup G > b\)。
Case 1/2, 如果G是unbounded,trivial。如果G bounded 但是 \(sup G > b\), trivial
case 3. 如果 G unbounded \(sub G \le b\) 我们直接证明是contradiction。
因为, 如果是 \(c = sup G \in [a,b]\) 我们可以找到一个 \(u_c = (c - \epsilon, c + \epsilon) \text{ for some } \epsilon > 0\) 然后这和我们之前的的很像, 这个新的 \(u_c\) 加进来之后我们可以说明 \(sup G > b\)
然后根据 completeness sup 在real 一定存在, 所以 [a,b] 是compact 的
(是的, 这个proof 很奇怪, 重点是我们要去想 [a,b) (a,b] 会在哪里break 这个proof)
(其实也不用,） \([a,b) = [a,c] \cup (c,b) , (a,b] = (a,c) \cup [c,b]\) 然后如果我们就很容易说明了
我们如果要构造类似的G： \(G = \{ x \in R : x \ge \text{ is covered by a finite subfamily of u } \} \\ G = \{ x \in R : x > a \vert \text{ is covered by a finite subfamily of u} \} \\\)
第一种我们会发现这个不存在： 假设 \((a + \epsilon) \in G\) 然后 我们总能找到 \(\delta < \epsilon : (a + \delta) \in G\) 所以永远可以找一个更小的, 所以 G 不可能是finite 的, 所以不存在 G。
核心是我们
bisection method
我们也可以假设 \([a,b]\) 不是compact, 所以我们定义 \([a,c], [c,b] ,\, c = {\frac{a + b}{2}}\) 中有一个不能被有限 subcover。 然后我们再不断的重复这个过程, 然后
明天是测度的东西。