应用数学

应用数学

• Asymptotic Expansion
• WKB method
• Multi Scale Expansion
• Method of homogenization

易错

\[\begin{align*} y(t) &\to y(f(t), t_2)\\ t_1 &= f(t)\\ t_2 &= \epsilon t\\ {\frac{d}{dt}} &= f_t {\frac{\partial }{\partial t_1}} + \epsilon {\frac{\partial }{\partial t_2}} \\ {\frac{d^2 }{d t^2}} &= f_{tt} {\frac{\partial }{\partial t_1}} + f_t^2 {\frac{\partial^2}{\partial t_1^2}} + 2 \epsilon f_t {\frac{\partial }{\partial t_1 \partial t_2 }} + \epsilon^2 {\frac{\partial^2}{\partial t_2^2}}\\ \end{align*}\]

Asymptotic Expansion

引入问题：

自由落体,如果我们考虑重力加速度不是常数, 而是相对精确的用引力公式：

\[\begin{align*} {\frac{d x^2}{d t^2}} &= - {\frac{g R^2}{(x+R)^2}}\\ x(0) &= 0 ,\,{x^\prime}(0) = v_0 \\ \\ R &= \text{ Radius of Earth}\\ g &= \text{ gravity acceleration on the ground} \end{align*}\]

然后我们需要经过 dimensionless 的过程：

\[\begin{align*} t_c &= {\frac{v_0}{g}} \text{ characteristic time}\\ x_c &= v_0 \cdot t_c = {\frac{v_0^2}{g}} \text{ characteristic height} \\ \\ \tau &= {\frac{t}{t_c}} \text{ demensionless time}\\ y(t) &= {\frac{x(t)}{x_c}} \text{ demensionless height}\\ \end{align*}\]

然后带入简化一下： (主要要搞清楚求导之后,系数的变化)

\[\begin{align*} {\frac{dx}{dt}} &= {\frac{d x_c y}{d t_c \tau}} \\ &= {\frac{x_c dy}{d t_c \tau}}\\ \\ {\frac{d{\frac{x_c dy}{d t_c \tau}}}{d t}} &= {\frac{x_c dy}{t^2_c d\tau}} \\ \end{align*}\]

得到最后简化的式子：

\[\begin{align*} {\frac{d^2 y}{d \tau^2}} &= - {\frac{1}{ (\epsilon y + 1)^2 }} ,\,\, \epsilon = {\frac{x_c}{R}} << 1 \\ \end{align*}\]

然后如果我们去掉 \( \epsilon \) 项的话, 就是我们高中学的, 假设重力是常数的情况。

\[\begin{align*} {y^\prime} &= \\ \end{align*}\]

Order symbols

\[\lim_{ \epsilon \to \epsilon_0} {\frac{f( \epsilon)}{ \varphi ( \epsilon)}} = L\]

\(L \neq 0\) a finite constant : \(f = O ( \varphi) \,\, ax \,\, \epsilon \to \epsilon_0\)

\(L = 0\) then \(f = o (\varphi)\) \(f( \epsilon) << \varphi( \epsilon)\)

Asymptotic Sequence

\[\{\varphi_1( \epsilon), \varphi_2( \epsilon), \cdots, \varphi_n( \epsilon)\}, \text{ for every } m,n ; \; m < n, \varphi_n = o (\varphi_m) \,\, as \epsilon \to 0\]

Asymptotic Expansion

\[f( \epsilon) = \sum_{k = 1}^{m} a_k \varphi_k ( \epsilon) + o(\varphi_m) \,\, as \,\, \epsilon \to 0\]

Singularly Perturbed Problem

Example 2:

\[\epsilon x^2 + 2 x - 1 = 0\]

      \(\epsilon \neq 0\) 二次方程, 两个根
      \(\epsilon = 0\) 一次方程, 一个根

如果按传统的expansion

\[x \sim x_0 + \epsilon x_1 + ...\]

得： \(\epsilon(x_0^2 + 2 \epsilon x_0 x_1 + ...) + 2(x_0 + \epsilon x_1 + ...) - 1 = 0\)

点我展开

\(O(1) : 2 x_0 - 1 = 0 \Rightarrow x_0 = {\frac{1}{2}} \\ \\ O( \epsilon) : x_0^2 + 2 x_1 = 0 \Rightarrow x_1 = - {\frac{1}{8}}\\ \\ X \sim {\frac{1}{2}} - {\frac{1}{8}} \epsilon\\\)

这个显然只有一个根, (当 \(\epsilon \to 0\) 只有 \({\frac{1}{2}}\) 一个解)

所以我们要用另一个表达:

\[x \sim \epsilon^ \gamma ( x_0 + \epsilon^ \alpha x_1 + ...) ( \alpha > 0)\]

化简过程

\[\epsilon (\epsilon^{2 \lambda} (x_0^2 + 2 \epsilon^ \alpha x_0 x_1 + ...) + 2 \epsilon ^ \lambda ( x_0 + \epsilon^ \alpha x_1 + ... ) - 1 = 0\] \[O(1)\]

这个时候就要假设

Matched Asymptotic Expansion (Boundary Layer)

Start with Second order ODE example \(\begin{cases} \epsilon y^{\prime \prime} + 2 {y^\prime} + 2y = 0, \, \, 0 < x < 1\\ y(0) = 0, y(1) = 1\\ 0 < \epsilon \ll 1 \end{cases}\)

所以我们也要分成两个solution: 包含4个步骤：

Step 1: Outer Solution (远离0的solution)

\[y(x) \sim y_0(x) + \epsilon y_1(x) + \cdots\]

简化：

\[\epsilon ( {y_0^{\prime \prime}} + \epsilon y_1(x) + \cdots) + 2({y_0^\prime}(x) + \epsilon {y_1^\prime}(x) + \cdots) + 2(y_0 + \epsilon y_1 + \cdots) = 0\]

O(1):

\[\begin{align*} {2y_0^\prime} + y_0 &= 0 \to y_0(x) = a e^{-x} \\ \end{align*}\]

因为 我们要找的是outer solution, 我们只有一个boundary 那就是 \(y_0(1) = 1 \to a = e\)

Step 2: Inner Solution (靠近0的solution)

Assume the width of boundary layer is \(O ( \epsilon ^ \alpha)\) 一个general的假设。

然后我们define \(\bar{x} = {\frac{x}{ \epsilon^ \alpha}}\) (Stretching transformation) (只是简单的放大这个region)

\[Y(\bar{x}) = y(x) \\ \text{use } \bar{x} \text{ to represent } {\frac{d}{d x}} = {\frac{d \bar{x}}{d x}} {\frac{d }{d \bar{x}}} = {\frac{1}{ \epsilon^ \alpha}} {\frac{d}{d \bar{x}}}\]

原来的ODE就变成了：

\[\begin{cases} \epsilon^{ 1- 2 \alpha} {\frac{d^2 Y}{d \bar{x}^2}} + 2 \epsilon^{- \alpha} {\frac{d Y }{ d \bar{x}}} + 2 Y = 0, \,\, 0 < \bar{x} < + \infty \\ Y(0) = 0 \end{cases}\]

现在 \(Y , \, {\frac{d Y}{d \bar{x}}} ,\, {\frac{d^2 Y}{ d \bar{x}^2}} \sim O(1)\) 因为我们相等于一起除了 \(\epsilon^ \alpha\)

Assume \(Y( \bar{x}) \sim Y_0(\bar{x}) + \epsilon Y_1 ( \bar{x}) + \cdots\)

而且我们假设, 最大的term是 \(O(1)\)

然后就是常规的：

\[\underbrace{\epsilon^{1 - 2 \alpha}}_\text{ (1) } {\frac{d^2 }{d \bar{x}^2}} (Y_0 + \cdots) + 2 \underbrace{\epsilon^{- \alpha}}_ \text{(2)} {\frac{ d}{d \bar{x}}} (Y_0 + \cdots ) + 2 \underbrace{ \epsilon^0}_ \text{(3)}(Y_0 + \cdots) = 0 \\\]

有三个情况 O((1)) = O((3)) 且最高order 为 (2) : \(\alpha = - {\frac{1}{2}}\) 最大项就是 (2) \(\epsilon^{- {\frac{1}{2}}}\) 这个显然 大于 \(O(1)\) 太大了, 不符合
O((2)) = O((3)) 且最高order 为 (1) : \(\alpha = 0\) 这个就是 outer region
O((1)) = O((2)) 且最高order 为 (3) : \(\alpha = 1\) 这个刚好符合。

但是为什么一定是这三种？ 问什么一定要有其中两个项order 相同？ 为什么一定会有一种情况符合？

这就是 dominant balance analysis
我们这个 asymptotic expansion 的核心是从 Order 小的term 去估计, 然后再慢慢增加order, 所以我们现在这个 equation, 我们不光可以把左边看成了一个 asymptotic expansion, 右边的 0 也可以, 所以我们这么看这个equation的话, 我们必然需要最低order 的项 等于零, 然后保留相应的一个(相对)最高order的term, 然后还有一个观察是, 这三个term 的系数 都不为0, 所以如果要让他们抵消, 一定要把相对低order 的term 相加 = 0, 即 我们一定有两个term 的order 相等。

所以如果有4项或者以上的时候我们要怎么办呢？

得到 \(\alpha = 1\) 之后 把 \({\frac{1}{ \epsilon}}\) 代进去

\[{\frac{1}{ \epsilon}} {\frac{d ^2}{d \bar{x}^2}} (Y_0 + \cdots) + {\frac{2}{ \epsilon}} {\frac{d}{d \bar{x}}} (Y_0 + \cdots ) + 2 (Y_0 + \cdots) = 0\]

然后我们从 最大的 order 开始： \(O ( {\frac{1}{ \epsilon}})\)

\[\begin{cases} {\frac{ d^2 Y_0}{ d \bar{x}^2}} + 2 {\frac{d Y_0}{d \bar{x}}} &=0 \to {Y_0^\prime} = A e^{-2 \bar{x}} \to Y_0 = B e^{-2 \bar{x}} + C \\ Y_0(0) &= 0 \to B + C = 1 \to C = 1 - B\\ Y_0 &= B(1 - e^{-2 \bar{x}}) \end{cases}\]

So this need to be matching the outer solution

Step 3: Match the inner and outer solutions

注意这个 Matching 只适用于 \(y_0\) 即 常数

Matching Condition: \(\lim_{x \to 0} y_0 (x) = \lim_{ \bar{x} \to + \infty} Y_0(\bar{x})\)

(然后一个很明显的问题是： 两边的limit 谁来保证一定存在呢?)

(所以其实是： 我们已知两个solution都是converge to 一些constant 然后我们才能使用 这个 matching condition？)

(然后进一步的思考是, 是不是我们对inner solution的 order 的选择, 让我们必能找到一个 order 然后让这两个solution的limit都是常数？ )[直觉来说是这样的]

so:

\[\lim_{x \to 0} y_0(x) = \lim_{x \to 0} e^{ 1 - x} = e \\ \lim_{ \bar{x} \to + \infty} Y_0(\bar{x}) = B = e\\\]

所以我们找到了

\[Y_0 (\bar{x}) = e - e^{1 - 2 \bar{x}}\]

Step 4: 整合起来：Composite Solution:

\[\begin{align*} y &\sim y_0(x) + Y_0( \bar{x}) + \fbox{ - e} \text{ 因为要保证满足} \\ & \text{ boundary condition 要减掉那个 matching condition 共同的项} \\ &\sim e^{1 - x} - e^{ 1- 2 {\frac{x}{ \epsilon}} } \\ \end{align*}\]

在 \(x = 0\) satisfy exactly \(x = 1\) satisfy approximately

第二term 计算

step 1

在 \(O( \epsilon)\) 有

\[\begin{cases} {y_1^\prime} + y_1 = - {\frac{1}{2}} {y_0^{\prime \prime}}\\ y_1(1) = 0 \\ y_0 = e^{1-x} \\ \end{cases}\]

能解得 \(y_1(x) = {\frac{1}{2}} (1 - x) e^{1-x}\)

\[y_{ \text{ outer}} \sim y_0(x) + \epsilon y_1(x) = e^{1-x} + \epsilon {\frac{1}{2}} (1-x) e^{1- x}\]

step 2

\[{\frac{1}{\epsilon}} {\frac{d^2 }{d \bar{x}^2}} (Y_0 + \epsilon Y_1 + \cdots) + {\frac{2}{ \epsilon}} {\frac{d }{d \bar{x}}} (Y_0 + \epsilon Y_1 + \cdots ) + 2(Y_0 + \epsilon Y_1 + \cdots) = 0\]

在 \(O (1)\) 有 ：

\[\begin{cases} {\frac{d^2 }{d \bar{x}^2 }} Y_1 + 2 {\frac{d }{d \bar{x} }} Y_1 &= -2 Y_0\\ &= -2 (e - e^{1-2 \bar{x}}) \\ Y_1(0) &= 0\\ \end{cases}\]

解 \(Y_1(\bar{x}) = D( 1 - e^{-2 \bar{x}}) + \bar{x} e(1 + e^{-2 \bar{x}} )\)

Van Dyke Matching 方法：

\[\begin{align*} y_{ \text{outer}}&\sim e^{1-x} + {\frac{ \epsilon}{2}} (1 - x) e^{1 -x} \\ &\sim e^{1- \epsilon \bar{x}} + {\frac{ \epsilon}{2}} (1 - \epsilon \bar{x}) e^{1 - \epsilon \bar{x}} \,\,\,\;\; x = \epsilon \bar{x} \\ &\sim e ( 1 - \epsilon \bar{x}) + {\frac{ \epsilon}{2 }} e + O( \epsilon^2) \\ &\sim e - ex + {\frac{1}{2}} e\cdot \epsilon \\ \end{align*}\] \[\begin{align*} y_{ \text{inner}} &\sim e( 1 - e^{-2 \bar{x}}) + \epsilon[ B (1 - e^{-2 \bar{x}} - \bar{x} e (1 + e^{-2 \bar{x}})] \\ &\sim e - e x + B \cdot \epsilon \\ \end{align*}\]

最奇怪的点是, 为什么 outer 要换成 \(\bar{x}\) 然后又换回去。以下是我的个人解读：

一个基本的假设是 \(\epsilon \ll x\) , 而且我们是要讨论的关于 \(O(1), O( \epsilon) ..\) 的order, 所以其实 \(\epsilon\) 才是真正的variable,